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823 高等代数 第 1 页 共 2 页
南京财经大学
2012 年硕士研究生入学考试初试试题（ A 卷）
科目代码： 823 科目名称： 高等代数 满分： 150 分
注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿
纸上均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！
一（15 分）计算 n 级行列式
2211
321
121
nnnn
n
n
ssss
ssss
sssn
，其中 k
n
kk
k
s 21
，
3,2,1k ．
二（15 分）证明：多项式 )(xf ， )(xg 的公因式 )(xd 为其最大公因式当且仅当 )(xd 为
)(xf ， )(xg 的一个组合．
三（20 分）设 A 为 sn 阶矩阵，b 为n 维非零列向量， rAr )( ，证明：
（1） bAX 有 1 rn 个线性无关的解向量；
（2） bAX 的任一解均可表示为这 1 rn 个解向量的线性组合．
四（20 分）若 n 阶矩阵 A 为半正定矩阵， B 为正定矩阵，证明存在数 0u ，使得
uE A B uE A ．
五（20 分）设 )2(1
kVVV k
， 为线性空间V 的一个线性变换，对任
意 V ， )(21 iik
V ，定义 iiii
VV )(,: ，证明：
),,2,1( kiVi
为 不变子空间的充分必要条件是 ii
．
六（20 分）设 P 为数域， ][)(),(, xPxgxfPA
nn
，且 1)(),( xgxf ，
T
n
xxxX ),,,( 21
， 0)()(| XAgAfPXV
n
， 0)(|1
XAfPXV
n
，
0)(|2
XAgPXV
n
，证明： 21
VVV ．
七（20 分）已知二次型 )0(222),,( 31
2
3
2
2
2
1321
bxbxxxaxxxxf ，若二次型
),,( 321
xxxf 矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为 12 ，求：
（1） a ，b 的值；（2）化二次型 ),,( 321
xxxf 为标准形的正交替换．
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