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818 高等代数 第 1 页 共 2 页
南 京 财 经 大 学
2011 年攻读硕士学位研究生入学考试（初试）试卷 A
考试科目： 818 高等代数 适用专业： 应用数学 满分 150 分
考试时间： 2011 年 1 月 16 日下午 2：00——5：00
注意事项：所有答案必须写在答题纸上，做在试卷或草稿纸上无效；
请认真阅读答题纸上的注意事项，试题随答卷一起装入试题袋中交回。
一（15 分）计算 n 阶行列式
2 cos 1
1 2 cos
1 1
2 cos 1
1 2 cos
n
D
二（15 分）证明： 1
p
x px （ p 为奇素数）在有理数域上不可约。
三（20 分）设 A 为 n 阶非零实矩阵，若 A 的任一元素均与其代数余子式相等
0AX 仅有零解。
四（20 分）设 ( ) , ( )
T T
f X X AX g X X BX 为实二次型，且 ( )f X 正定，证明：
存在可逆线性变换化 ( )f X 为规范型，同时化 ( )g X 为标准形，并且 ( )g X 的
标准形各项系数均为 0xA B 的根。特别，若 ( )g X 也正定，则 ( )g X 的标
准形各项系数均大于零。
五（20 分）设 为线性空间V 的一个线性变换，其最小多项式 )()()( 21
mmm ，
且 1))(),(( 21
mm ，则
（1） ker ( ) ( 1, 2)i
m i 均为V 的 不变子空间；
（2） )(ker)(ker 21
mmV 。
六（20 分）设 P 为数域， ,
n s s n
A P B P
，证明：
（1） | 0,
n
V B AB P 是 s
P 的子空间；
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