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南 京 财 经 大 学
2010 年攻读硕士学位研究生入学考试(初试)试卷
考试科目： 818 高 等 代 数
适用专业： 应 用 数 学
考试时间： 2010 年 1 月 10 日下午 2：00—5：00
注意事项：所有答案必须写在答题纸上，做在试卷或草稿纸上无效.
一 、 (15 分 ) 设 1
, 2
, n
, 为 互 不 相 同 的 数 ， 证 明
1
1
2
11
1
1
2
11
12
1
1
1
)(
n
nnn
n
n
p
为 的 1n 次多项式，并求出其所有根。
二、(20 分)设 A 为 ns 阶矩阵，b 为n 维列向量，证明： 0AX 的解全为 0Xb
T
的解当且仅当 T
b 可由 A 的行向量线性表示。
三、（20 分）若 n 阶矩阵 A 为正定矩阵， B 为半正定矩阵，则对任意 0u ，
AuBA ，并且等号成立当且仅当 0B 或 0u 。
四 、（ 30 分 ） 设 )(xf 为 数 域 P 上 的 多 项 式 ， 且 )()()( 21
xfxfxf ，
1))(),(( 21
xfxf ，若 为 P 上线性空间V 的一个线性变换，并且 0)( f ，
则
（1） )2,1)((ker ifi
均为V 的 不变子空间；
（2） )(ker)(ker 21
ffV 。
五、（25 分）设n 阶复矩阵 A 的特征值为 ),,2,1( nii
， )(t 为t 的r 次多项式，
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