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南京大学硕士研究生入学考试数学分析试题
2000 年
一、求下列极限
1）设
n
n
n
x
x
x
3
)1(3
1
，（ 01
x 为已知），求 n
n
x
lim ；
2）
22
)(lim
22
0
0
yx
y
x
yx
；
3）
x
x
dt
t
t
1
2
0
cos
lim ；
4）
222
2
2
2
2
0
)cos(
1
lim
ryx
xy
r
dxdyyxe
r
.
二、设 )(xf 在 1.1 上 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 0)0( f ， 令
x
xf
xg
)(
)( ，
)0()0(,0 fgx ，证明
1） )(xg 在 0x 处连续，且可导，并计算 )0(g ；
2） )0(g 在 0x 处也连续.
三、设 teetf
tn
t
n
3
sin)1()(
， 0t ，试证明
1）函数序列 tfn 在任一有穷区间 A,0 上和无穷区间 ,0 上均一致收敛
于 0；
2）
0
3
0sin1lim tdtee
tn
t
n
.
四、设 对 任 一 A>0, )(xf 在 A,0 上 正 常 可 积 ， 且 0)(
0
dttf 收 敛 ， 令
,0,)()()(
0
xdttfdttfx
x
x
试证明 )(x 在 ,0 内至少有一个零点.
五、计算积分 )0(,sincosln)(
2
0
222
adxxxaaI
.
六、试求指数 ，使得 dyr
y
x
dxr
y
x
2
2
为某个函数 yxu , 的全微分，并求 yxu , ，
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