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2001 年数学分析
一、求下列极限
1） 设 ),2(,
4
3
,0 1
1
n
a
aa n
n
求 n
n
a
lim ；
2）
y
x
y
x
e
y
x
1
2
2
0
1
lim
；
3） 设 ,,)( ,
BbaACxf BA
试求
b
a
h
dx
h
xfhxf )()(
lim
0
4） 设 )(xf 在 )1,0( 内可导，且 ),1,0(,1|)(| xxf 令 )2)(
1
( n
n
fxn
，试证明 n
n
x
lim
存在有限
二、设 ,1)0(,)( ),(
2
gCxg 令
时当
时当
0,
cos)(
0),0(
)(
x
x
xxg
xg
xf
1） 讨论 处的连续性；在 0)( xxf
2） 求 .0)(),( 处的连续性在并讨论 xxfxf
三、设 ,1,0,1)(0,0)0(,)( 1,0
1
xxffCxf 试证明对一切 1,0t ，成立
tt
dxxfdxxf
0
3
2
0
)()(
四、求下列积分
1） 计算反常积分
0
sin
dx
x
xe
I
x
；
2） 计 算 曲 面 积 分
S
dxdyzdzdxydydzxI
222
， 其 中 S 为 锥 面
hzyx
a
h
z 0,
22
2
2
2
那部分的外侧
五、求 2
1
2
arctan)(
x
x
xf
在 0x 处的幂级数展开式，并计算
0 12
)1(
n
n
n
S 之值
六、设 0,1,
1
11
xk
x
xk
x
n
n
n .
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