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昆明理工大学 2011 年硕士研究生招生入学考试试题(A 卷)
考试科目代码： 833 考试科目名称 ：高等代数
试题适用招生专业 ：070102 计算数学、070104 应用数学、071101 系统理论、071102
系统分析与集成
考生答题须知
1． 所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。
请考生务必在答题纸上写清题号。
2． 评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。
3． 答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。
4． 答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。
1. 设 ( )f x 是一个多项式，对任意数 ,a b 有 ( ) ( ) ( ).f a b f a f b 证明： ( )f x kx （k 是常
数）（10 分）
2. 设
1 2 1
2 1
1 1
1 2 1
1 ...
1 ...
( ) 1 ... .
... ... ... ... ... ...
1 ...
n n
n n
n n
n
a a a a
x a a a
f x a x a a
a a a x
求 ( )f x 的根。（15 分）
3. 设向量 可由向量组 1 2
, ,..., n
线性表示。证明：表示法唯一的充要条件是 1 2
, ,..., n
线
性无关。（15 分）
4. 设 A 是实 n 阶方阵，证明： ( ) ( ).
T
rank A A rank A （20 分）
5. 计算
0 0 0 1 2
0 0 0 32
0 0 01 1
0 0 01 1
0 0 0 01
的逆矩阵。（20 分）
6. t 取什么值时，
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 5 2 2 4f x x x x x x tx x x x x x 是正定二次型。（10 分）
7. 已知
2 3
1, , ,x x x 是 4
[ ]P x 的一组基。
(1)证明：
2 3
1,1 , (1 ) , (1 )x x x 也是 4
[ ]P x 的一组基；
(2)求由基
2 3
1,1 , (1 ) , (1 )x x x 到基
2 3
1, , ,x x x 的过渡矩阵。（20 分）
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