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2011 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（副卷）
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学科、专业名称：数学学科、基础数学专业、概率论与数理统计专业、应用数学专业
研究方向：各方向
考试科目名称：709 数学分析
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
1. 求极限 (每小题 8 分, 共 24 分)
(1) 设数列 }{ n
a 满足: .,2,1,
1
1,1 11
n
a
a
aa
n
n
n
证明 }{ n
a 收敛, 并求
.lim n
n
a
(2) 设 .,2,1,)12()1(
1
nnnn
n
x n
n 求 .lim n
n
x
(3) 求 .
)1()cos1(4
sin
lim 32
22
0 xex
xx
x
x
2. 设函数 g 在 0
x 的某邻域内 ),3,2(1 nn 阶光滑, ),()()( 0
xgxxxf
n
求
).( 0
)(
xf
n
(8 分)
3. 设
1n
n
u 是数项级数, 证明: (13 分)
(1) 若 ,0lim
n
n
nu 则
1n
n
u 发散;
(2) 若
1n
n
u 是收敛的正项级数, 且数列 }{ n
u 单调, 则 .0lim
n
n
nu
4. 证明方程 0cos12
y
xeyy 在 )0,0( 的邻域内确定唯一的可导函数 )(xyy ,
并求 )0(),0( yy 及 .
)(
lim
0 x
xy
x
(12 分)
5. 求幂级数
1
21
)!12(
12
)1(
n
nn
x
n
n
的收敛范围及和函数. (10 分)
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