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2011 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（副题）
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学科、专业名称：数学学科、基础数学、应用数学、概率论与数理统计专业
研究方向：各方向
考试科目名称：高等代数 考试科目代码：810
考试科目: 高等代数 共 4 页,第 1 页 考试科目: 高等代数 共 4 页,第 2 页
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分
一、判断下列命题的正误（只需回答“正确”或“错误”并将你的答案写在答题纸上，
不需说明理由，每题 2 分，共 20 分）：
1、如果 )( xf 是有理数域Q 上的多项式，则 )( xf 在有理数域Q 上不可约的充分必要条
件是，多项式 )11()( xfxg 在有理数域Q 上不可约。
2、如果
3
2
27641
9161
341
1111
)(
x
x
x
xf ，则 )( xf 是有理数域Q 上的 3 次多项式。
3、 n 元线性方程组有唯一解的充分必要条件是对应齐次线性方程组有无穷组解。
4、一个向量组的任何一个线性相关组都有非空极大线性无关组。
5、如果一个 n 阶矩阵 A 不可逆，则其伴随矩阵 *A 不可逆。
6、实 n 元二次型 AXXXf
T
)( 正定当且仅当对应实对称矩阵 A 的正惯性指数为 n 。
7、两个等价的线性无关向量组所含向量个数可以不同。
8、线性变换在不同基下的矩阵相似。
9、一个 nn 的 矩阵 )(A 的行列式 )(A 是 的 2 次多项式，则 )(A 可逆。
10、如果 n 维欧氏空间V 的一个线性变换 在一组标准正交基下的矩阵的行列式值为
2009，则 是正交变换。
二、 在每个题后给出的 3 个答案中选择一个正确的答案填空，将其前的字母填写在答
题纸上：（每小题 3 分，共 30 分）
1、多项式 1)1(
2
xmx 整除 qpxx
3
的条件是：（ ）。
a. 22,1
2
mmpmq ; b. 1,
2
mqmp ; c. 1,
2
mpmp 。
2、
kfc
heb
gda
khg
fed
cba
（ ）。
a. 1 ；b. 0 ; c. 1 。
3、设 是非齐次线性方程组 bAX 的一个解向量，而 s
,,, 21
是对应齐次线性方程
组 OAX 的一个基础解系，则（ ）是非齐次线性方程组 bAX 6 的通解。
a. i
s
i
i
c
1
，其中 s
ccc ,,, 21
为任意常数；
b. i
s
i
i
c
1
2 ，其中 s
ccc ,,, 21
为任意常数；
c. i
s
i
i
c
1
6 ，其中 s
ccc ,,, 21
为任意常数；
4、设 A 是n 阶方阵且 AA 3
2
， E 是n 阶单位矩阵，则（ ）一定可逆。
a. AE ；b. A ; c. AE 3 。
5 、 如 果 n 元 二 次 型 ),,,( 21 n
xxxf 的 符 号 差 为 n ， 则 二 次 型
),,,(),,,( 2121 nn
xxxfxxxg （ ）。
a. 负定；b. 正定; c. 半正定。
6、（ ）是实数域 R 上全体 44 矩阵作成的线性空间 44
R 的子空间。
a. }0|{
44
ARAW ；b. }0|)({
3
1,
,
44
44,
ji
jiji
aRaAW ;
c. }2011|{
244
AARAW
。
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