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2010 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（副卷）
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学科、专业名称：数学学科、基础数学 应用数学 概率论与数理统计等专业
研究方向：各专业研究方向
考试科目名称：810 高等代数
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一 填空题（共 9 小题 44 分，每空 4 分）
1 级行列式n
a a a x
a a x a
a x a a
x a a
L
L
M M M M M
L
L a
等于____________。
2 设 A 是一个 级方阵，n E 是 级单位矩阵，且n 2
4A A E 0+ − = ，则 ______。
1
( )A E −
− =
3 设V 是 中全体对称矩阵作成的数域 上的一个线性空间，则V 的维数为
n n
P ×
P ，
一组基为 。
4 给 出 的 两 组 基
3
P 1 2 3, ,ε ε ε 和 1 2 3, ,η η η ： 1 2 3(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)ε ε ε= = = ，
1 2 3(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)η η η= = = 。则基 1 2 3, ,ε ε ε 到 1 2 3, ,η η η 的过渡矩阵为 。若线性
变换σ 在基 下的矩阵为
1 2 0
1 1 1
0 1 1
A
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
，则σ 在基 1 2 3, ,η η η 下的矩阵为 。
5 设V 是数域 上的一个 3 维线性空间，P 1 2 3, ,α α α 是V 的一组基，若V 上的一个线性函数σ
满足 1 3 2 3 1 2( ) 1, ( 2 ) 1, ( ) 3α α σ α α σ α α+ = − = − + = 2 3 3( )k− ，则 1 1 2k kσ σ α α+ α+ = 。
（ ）1 2 3, ,k k k P∈
6 已知方阵 A 的初等因子组为
2 2
, ,( 1) ,( 1)λ λ λ λ 3
− − ，则 A 的 Jordan 标准形是 。
7 “代数基本定理”的内容是_______________。
8 设 A ， B 都是 级正定矩阵，则n 1
, , ,A A B AB A B−
+ − 中为正定矩阵的是 。
9 正交矩阵的实特征值为 。
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