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华南理工大学
2010 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷
（请在答题纸上做答，试卷上做答无效，试后本卷必须与答题纸一同交回）
科目名称：量子力学
适用专业：凝聚态物理
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（本试卷共 5 大题，每题 30 分，总分为 150 分）
1.质量为 m 的粒子在宽度为 a 的一维无限深势阱中运动.
(a) 建立适当的坐标系，写出哈密顿算符，求解定态薛定谔方程.
(b) 当粒子处于状态 )(
2
3
)(
2
1
)( 21 xxx ψψψ += 时，求测量粒子能量时的可能取值及
相应的概率. 其中 )(1 xψ 和 )(2 xψ 分别是基态和第一激发态.
(c) 若上式的 )(xψ 是 0=t 时刻的波函数，求粒子在其后任意时刻的波函数.
2.对于角动量算符 prL
rrr
×= ，
(a) 在直角坐标系中，推导各分量之间的对易关系，并归纳出统一的表达式.
(b) 定义升降算符 yx iLLL ±=± ，利用对易关系 [ ]±LLz , 和[ ]±LL ,2
证明：
若 是 和 的共同本征态, 则 也是 和 的本征态.f 2
L zL fL±
2
L zL
(c)在球坐标系中，求解 的本征方程.zL
3. 质量为 m 的粒子处于角频率为ω 的一维谐振子势中.
(a) 写出在坐标表象中的哈密顿算符，本征值及本征函数(可不归一化).
(b) 写出在动量表象中的哈密顿算符.
(c) 证明在动量表象中，哈密顿算符的矩阵元为
)'(
2
1
)'(
2 2
2
22
2
' pp
p
mpp
m
p
H pp −
∂
∂
−−= δωδ h .
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