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华南理工大学
2008 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷
（请在答题纸上做答，试卷上做答无效，试后本卷必须与答题纸一同交回）
科目名称：数学分析
适用专业：基础数学，计算数学，概率论与数理统计，应用数学，运筹学与控制论
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一、求解下列各题（每小题 10 分，共 60 分）
1、若 0lim =
+
−
∞→ ax
ax
n
n
n
，证明 axn
n
=
∞→
lim 。
2、设 ，
⎩
⎨
⎧
=
为无理数当
为有理数当
x
xx
xf
,0
),cos(
)(
π
证明 在点)(xf
2
1
+= kxk ( 为任意整数)连续，而在其它点不连
续。
k
3、若函数
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′′−′⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
+
−
= )(
2
1
)(
)]('[
)()(
1
)('
)()(
)( 2
afaf
af
afxf
af
afxf
xϕ ，
求 )(aϕ′ 及 )(aϕ ′′ 。
4、证明函数项级数 在 上绝对收敛且一致收( ) )1(1
1
xxn
n
n
−−∑
∞
=
]1,0[
敛，但不绝对一致收敛。
5、设 为自然数，在区间n ( )π,0 上定义函数
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