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2007 年数学系硕士研究生
数学分析 试卷
一、判别题：
(1) 设 D 是一个单连通开区域， 0 0 0
( , )P x y D ， ( , )P x y , ( , )Q x y 在 D 内连续，
P
y
，
Q
x
在 0
\D P 上连续且相等， C 是一条不经过 0
P 的光滑闭曲线，其方向为逆时针方向，则第二
型曲线积分 ( , )d ( , )d 0
C
P x y x Q x y y 。
(2) 设 ( )f x ， ( )g x 在区间 ],[ ba 上连续可微， )()( bgag ，那么存在 ),( ba
.
)('
)('
)()(
)()(
g
f
agbg
afbf
(3) 设
1n
nu 收敛， 那么
n
un
n
1
也收敛。
(4) 函数
1
sin , 0
( )
1, 0
x x x
f x
x
是否有原函数。
二、计算题：
(1)
6
22
0
)sin(sin
lim
x
xx
x
。
(2) ,
222
dxdyzxdzdxyzdydzxy
S 其中S 为圆柱面
2 2
1x y ， 0x ， 0y ，0 1z ，
且 S 的法方向与 x 轴的正向成锐角。
(3) 设
11
1
1 d
nn
n
I x x
，试求极限 lim n
n
I
以及 lim n
n
n I
。
(4) 求函数
22
)(),(
yx
eyxyxf
在平面上的最大值与最小值（要求说明理由）。
(5) 设 [0, 1] [0, 1]D ，求函数
D
dxdytyxtf ||)( 。
三、证明题：
(1) 对于任意正整数n ，集合 n
A 是一个有限集合，并且当 m n 时， m n
A A 。
令
1
( ) , n
f x x A
n
， ( ) 0 , n
f x x A 。
求证：对于任意 0
x ，
0
( ) 0lim
x x
f x
。
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