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湖南师大 2000 年高等代数考研试题
一.填空题(将正确答案填在横线上,每小填 5 分,共 25 分).
1. 2,n n 阶行列式
1 2 2 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
n n n
x
x
x
x
a a a a x a
的值为 ;
2.在 3
R 中,向量 (1,1,1) 关于基 1 2 3
{ , , } 的坐标是 ,其中
1 2 3
(1,1, 0), (1, 0,1), (0,1,1).
3.已知 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
{ , , , ) | 0, , , , }W x x x x x x x x x x x x R
2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
{ , , , ) | 0, , , , }W x x x x x x x x x x x x R
都是 4
R 的子空间,那么 1 2
W W 的维数是 .
4.若在 3
R 中规定任意两个向量 1 2 3 1 2 3
( , , ), ( , , )x x x y y y 的内积为
1 1 2 2 3 3
, 2 3x y x y x y ,则 (1, 0,1), (1, 2, 0) 的夹角是 .
5.若实二次型
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 5 2 2 4f x x x x x x tx x x x x x 是正定的,则t 的取值范
围是 .
二.简答题.(20 分)(每小题 5 分,先回答对或错,对的做简单说明,错的做出反例)
1.设 A 是对称矩阵,B 是反对称矩阵,那么 AB BA 和 2
B 是否都是对称矩阵?
2.设 A,B 都是实对称矩阵,且 A 与 B 的特征多项式相同,那么 A 与 B 是否一定相似?
3.设 1
W 和 2
W 都是数域 F 上向量空间 V 的子空间,如果 V 的任意向量都至少属于 1
W 与 2
W 中
的一个,是否有 1
V W 或 2
V W ?
4.若含有 n 个未知数 n+1 个方程的线性方程组
11 1 12 2 1 1
1,1 1 1,2 2 1, 1
n n
n n n n n
a x a x a x b
a x a x a x b
有解,是
否必有增广矩阵的行列式的值为 0?反过来是否也成立?
三.计算题(25 分)
1.(10 分)求 t 的值,使
3 2
( ) 6 3 8f x x x tx 有重根.
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