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二○○七年招收硕士学位研究生试卷
试卷代号 809 试卷名称 近世代数
①试题内容不得超过画线范围，试题必须打印，图表清晰，标注准确
②考生请注意：答题一律做在答题纸上，做在试卷上一律无效。
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一、(满分 15 分)
设 G=Q-{1}(Q 为有理数集),定义 G 上的二元运算 为:
a b= a +b-a b, 证明：(G， )构成一个群。
二、(满分 15 分)
设群 G 中元素 a 的阶为 n(< ),证明:对任意的正整数 m,若a m
=e (e 为 G 的
单位元)，则 n|m
三、(满分 15 分)
设 G 是一个群，证明：如果映射 3
: xx 是 G 到 G 的一个单同态，则
G 是一个交换群。
四、(满分 20 分)
设 R 为环，且对每个 a R ，都有 aa
2
，证明：
(1)R 为可换环；
(2)若 R 至少包含三个元素，则 R 不是整环
五、（满分 15 分）
设 xF 是数域 F 上的一元多项式环，试求 xF 上的一个理想。
六、（满分 15 分）
写出对称群 S 3 的所有子群和正规子群
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