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桂林电子科技大学 2014 年研究生统一入学考试试题
科目代码：811 科目名称：数学分析
请注意：答案必须写在答题纸上（写在试题上无效）。
一、解答下列各题（每小题 7 分，共 28 分）
1.
0
1 1
lim cot ( )
sinx
x
x x
.
2. 2 2 2
1 2
lim ( )
1 2n
n
n n n n n n n
.
3. 2 2
1
d
4 sin cos
x
x x .
4. 设 sup{ }E ， E 为数集， E ， 证明自E 中可选取数列{ }n
x ， 使得其极限为 ；
又若 E ，是否有相同结论，为什么？
二、（17 分）设数列{ }n
x 满足 1 1
0 , sin ( 1, 2, ).n n
x x x n
（1）证明：lim n
n
x
存在，并求该极限.
（2）计算
2
1
1
lim
nx
n
n
n
x
x
.
三、（7 分）设 0x ，常数 a e ，证明： ( ) .
a a x
a x a
四、（14 分）在椭圆
22
1
4 6
yx
的第一象限部分上求一点 P， 使该点的切线、椭圆及两坐标
轴所围图形的面积为最小.
五、（14 分）设 0( 1, 2, )n
u n ， 且 lim 1
n
n
n
u
， 证明级数 1
11
1 1
( 1) ( )
n
n nn
u u
条件收
敛.
六、（14 分）将函数
1
( ) arctan
1
x
f x
x
展开为 x 的幂级数.
七、（14 分）设 L 为椭圆
22
1
4 3
yx
，其周长为 a ，则
L
dsyxxy .432
22
八、（14 分）设函数 ( )f u 在 (0, ) 内具有二阶导数，且
2 2
( )z f x y 满足等式
2 2
2 2
0.
z z
x y
（1）验证
'( )
''( ) 0
f u
f u
u
.
(2) 若 (1) 0, '(1) 1f f ，求函数 ( )f u 的表达式.
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