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桂林电子科技大学 2015 年研究生统一入学考试试题
科目代码：811 科目名称：数学分析
请注意：答案必须写在答题纸上（写在试题上无效）。
一、填空题（每小题 4 分，共 16 分）
1. 设
( 1)
1
n
n
x
n
, 则{ }n
x 的聚点是________, sup{ }n
x ________ .
2. 已知 '(0) 1f , 则
0
( ) (0)
lim
x
f x f
x
______________.
3. 设 2
( , )z f xy x y , 其中 f 是可微函数, 则
z
x
________,
z
y
________.
4. 无穷积分 1
1
d
( 1)
x
x x
_________.
二、计算下列极限与积分（每小题 8 分，共 32 分）
1.
1
2
lim ( !) n
n
n
2.
2
0
20
d
lim
sin
x t
x
x e t
x x
3.
1
ln d
1
x
x x
x
4.
2
0
1 sin dx x
三、计算题（每小题 9 分，共 36 分）
1. 求由方程组 3 3 3
0,
10
x y z
x y z
所确定的隐函数 ( )y y x , ( )z z x 在点(1, 1 2) 处的导数.
2. 求积分
2
1
0 0
d d
1
y
x ye
x y
y
.
3. 求曲线积分 3 2 2 2
(2 cos ) d (1 2 sin 3 ) d
L
I xy y x x y x x y y , 其中L 是从原点 (0, 0)O 经曲线
2
2x y 到 ( ,1)
2
A
的有向弧.
4. 设 为曲面 2 2
z x y 介于平面 0z 和 1z 之间部分的下侧, 计算曲面积分：
(1) 1 4 dz S
, (2) d dz x y
.
四、分析解答题（每小题 10 分，共 30 分）
1. 叙述数列极限存在的柯西准则, 并用它证明数列{ }n
x 收敛, 其中
2 2 2
sin 1 sin 2 sin
1 2
n
n
x
n
.
2. 设
2
2
1
( ) lim
1
n
nn
x
f x x
x
, 求 ( )f x 的间断点并讨论其类型.
3. 设 0n
a , 且
1
lim{ ( 1) } 1
p n
n
n
n e a
,（ 1p 为常数）. 讨论级数
1
n
n
a
的收敛性.
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