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桂林电子科技大学 2013 年硕士研究生入学考试试卷
考试科目代码： 811 考试科目名称：数学分析
请注意：答案必须写在答题纸上（写在试卷上无效）。
一、 求极限(共 20 分，每小题 10 分).
（1）
2 4 2
lim (1 )(1 )(1 ) (1 ), | | 1.
n
n
（2）
1
0
(1 )
lim .
x
x
x e
x
二、(14 分) 按柯西准则叙述数列{ }n
a 发散的充要条件，并用它证明数列
1 1 1
{ }( 1 )
2 3n n
a a
n
是
发散的.
三、(14 分) 设 f 为区间 I 上的单调函数，证明：若 0
x I 为 f 的间断点，则 0
x 必是 f 的第一类间断点.
四、(12 分)设 f 在[0, ) 上可微，且 0 '( ) ( )f x f x ， (0) 0f . 证明：在[0, ) 上 ( ) 0.f x
五、解答下列各题(共 30 分，每小题 10 分).
（1）求幂级数
0
1
1
n
n
x
n
的收敛域及收敛区间的和函数.
（2）求定积分
1
1
d
5 4
x
x
x
.
(3) 设 ,
x
y
z e 求
2 2
2
,
z z
x yx
.
六、(15 分)求平面 1
3 4 5
yx z
和柱面 2 2
1x y 的交线上与 XoY 平面距离最短的点.
七、(15 分)计算三重积分
2 2
)dx y V
（ ，其中是由曲面
2 2
2x y z 及平面 2z 所围成的闭区域.
八、(15 分)求曲面
2 2
2z x y 及
2 2
6 2z x y 所围成的立体的体积.
九、(15 分) 求积分 2 2
( )d ( )d
L
x y x x y y
x y
，其中 L 为圆周
2 2 2
x y a （按逆时针方向绕行）.
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