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桂林电子科技大学 2012 年硕士研究生入学考试试卷
考试科目代码： 811 考试科目名称：数学分析
请注意：答案必须写在答题纸上（写在试卷上无效）。
一. 解答下列各题（共 100 分，每小题 10 分）
1. 证明：若数列 n
a 单调增加，且有一个子数列 kn
a 收敛，则数列 n
a 也收敛，且收敛于同一个极
限。
2. 求极限 ).
1
sin
2
sin(sin
1
lim
n
n
nnnn
3. 证明：
2
3
)(
x
exxf
为有界函数。
4. 证明： 2
)( xxf 在 R 上非一致连续。
5. 研究函数 3
)( xxf 在 0x 处的各阶导数。
6. 证明：函数列 n
xnx )1( 在区间 1,0 上非一致收敛。
7. 求幂级数
1253
1253
n
xxx
x
n
的和函数。
8. 求曲面 2132
222
zyx 的切平面，使它平行于平面 .064 zyx
9. 设 ,
22
yxz 其中 )(xfy 为由方程 1
22
yxyx 所确定的隐函数，求 .
dx
dz
10.设 )(xf 为连续函数，证明：
0
2
0
.)(sin2)(sin dxxfdxxf
二．计算下列各题（共 30 分，每小题 10 分）
1．求
,xdS 其中 : .10,20,
2
yxyxz
2. 计算积分 ,)3sin21()cos2(
2223
dyyxxydxxyxy
L 其中 L 为在抛物线
2
2 yx 上由点
)0,0( 到 )1,
2
(
的一段弧。
3.计算积分
S
dxdyzdzdxydydzx ,
222
其中 S 是锥面
222
zyx 与平面 hz 所围空间区域
)0( hz 的表面，方向取外侧。
三.证明下列各题(共 20 分，每小题 10 分)
1． 设 )(xf 为 ],[ ba 上的二阶可导函数， ,0)()( bfaf 并存在一点 ),( bac 使得 .0)( cf 证明：
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