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桂林电子科技大学 2014 年硕士研究生入学考试试卷
考试科目代码： 601 考试科目名称：高等代数
请注意：答案必须写在答题纸上（写在试卷上无效）。
（各题标题字号为黑体 5 号字，题干字号为标准宋体 5 号字。）
一、（本题 15 分）计算行列式
31 1 2
31 2 2
1 2 3 3 1 2
1 2 3
...
...
... ( ... 0)
...... ... ...
...
n
n
n n
n
n n
a aa b a
a aa a b
D a a a b a b b b
a
a a a a b
.
二、（本题 10 分）设齐次线性方程组
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
... 0
... 0
... ...
... 0
n n
n n
n n nn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
的系数行列式 0A ，而 A 中的元
素 kl
a 的代数余子式 0kl
A ，证明： 1 2
( , ,..., )k k kn
A A A 为该方程组的一个基础解系.
三、（本题 10 分）证明：向量组 1 2
, , , r
线性无关的充要条件是向量组
1 1 2 1 2
, , , ... r
线性无关.
四、（本题 20 分）设矩阵
1 1 2
3 3 6
2 2 4
A
，求 A 的不变因子、行列式因子、初等因子以及若当标准
形.
五、（本题 20 分）二次型
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 3
( , , ) 2 2 2 ( 0)
T
f x x x X AX ax x x bx x b ，其中
( ) 1, 12tr A A .
（1）求 ,a b 的值.
（2）用正交变换 QYX 将二次型 f 化为标准形，并写出所用正交变换.
六、（本题 15 分）已知向量组 1
(1, 2,1, 0) ， 2
( 1,1,1,1) ， 1
(2, 1, 0,1) ， 2
(1, 1, 3, 7) .
（1）求 1 2 1 2
( , ) ( , )L L 的基与维数；（2）求子空间 1 2
( , )L 的正交补.
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