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桂林电子科技大学 2013 年研究生统一入学考试试题
科目代码：601 科目名称：高等代数
请注意：答案必须写在答题纸上（写在试卷上无效）
一、（本题 10 分） 计算行列式
0 1 2
1
2
...
0 ... 0
0 ... 0
...... ...
0 0 ...
n
n
a b b b
x a
D x a
ax
.
二、（本题 10 分）证明方程组
1 2 1
2 3 2
3 4 3
4 5 4
5 1 5
x x
x x
x x
x x
x x
有解的充分必要条件是
5
1
0i
i
.并在有解的情形
求它的一般解.
三、（本题 10 分）设 1 2
, , , r
是一组线性无关的向量，且
1
( 1, 2,..., )
r
i ij j
j
b i r
，证明：
1 2
, , , r
线性无关的充要条件是行列式
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
0
... ... ... ...
...
r
r
r r rr
b b b
b b b
D
b b b
.
四、（本题 20 分） 设 3 阶矩阵 A=
1 2 6
0 3
1 4
－ 1
－ 1
.
求：（1）A 的 Jordan 标准形；
（2）A 的不变因子、行列式因子和初等因子.
五、（本题 20 分） 已知二次型 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2
( , , ) (1 ) (1 ) 2 2(1 )f x x x a x a x x a x x 的秩为
2. 求：
（1） a 的值；
（2）一个正交线性替换化二次型 1 2 3
( , , )f x x x 为标准形；
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