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桂林电子科技大学 2015 年研究生统一入学考试试题
科目代码：601 科目名称：高等代数
请注意：答案必须写在答题纸上（写在试题上无效）。
一、（本题 10 分）计算n 阶行列式
1 2
1 2
1 2
...
...
... ...
...
n
n
n
x a a
a x a
a a x
， ( 1, 2,..., )i i
x a i n .
二、（本题 10 分）设 1 2, , , rt t t 是互不相同的数， r n .证明： 1
(1, ,..., )n
i i it t
，
1, 2,...,i r 是线性无关的.
三、（本题 10 分）设 0
是非齐次线性方程组的一个解， 1 2
, ,..., t
是其导出组的一个基础
解系，若 1 0
， 2 0 1
，…， 1 0t t
.证明：该非齐次线性方程组的任一解
都可以表示成 1 1 2 2 1 1
... t t
u u u
，其中 1 2 1
... 1t
u u u
.
四、（本题 20 分）设 3 阶矩阵
1 1 2
3 3 6
2 2 4
A
，求：
（1） A 的 Jordan 标准形；
（2） A 的不变因子、行列式因子及初等因子.
五、（本题 20 分）设
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 2 2 4 4 8f x x x x x x x x x x x x ，求一个正交线性
替换化此二次型为标准形.
六、（本题 20 分）设 1 2 3 4
, , , 是 4 维线性空间V 的一组基，且已知V 上的线性变换 在
这组基下的矩阵为
2122
5521
3121
1201
A
（1）求 的核与值域，并分别求它们的维数和一组基；
（2）求
1
(0)V
，并求其维数和一组基.
七、（本题 20 分）已知
2 2
P
的子空间
11 12
11 22
21 22
0, ij
x x
W x x x P
x x
和线性变换
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