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桂林电子科技大学 2012 年硕士研究生入学考试试卷
考试科目代码：601 考试科目名称：高等代数
请注意：答案必须写在答题纸上（写在试卷上无效）。
一、（本题 15 分）计算n 阶行列式
.
b a a a
a b a a
D a a b a
a a a b
二、（本题 10 分）设 1
( ) ( ) ( )f x af x bg x ， 1
( ) ( ) ( )g x cf x dg x ，且 0.
a b
c d
证明
1 1
( ( ), ( )) ( ( ), ( )).f x g x f x g x
三、（本题 15 分）a ，b 取什么值时，线性方程组
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
3 2 3
2 2 6 3
5 4 3 3
x x x x x
x x x x x a
x x x x
x x x x x b
无解？有解？并在有解时求解.
四、（本题 20 分）已知二次型
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2
( , , ) (1 ) (1 ) 2 2(1 )f x x x a x a x x a x x
的秩为 2.
(1) 求 a 的值；
(2) 求一正交变换 X QY ，将 1 2 3
( , , )f x x x 化为标准形.
五、（本题 20 分）设三阶矩阵
1 2 6
1 0 3 .
1 1 4
A
(1) 求 A 的不变因子，初等因子；
(2) 求 A 的 Jordan 标准形.
六、（本题 15 分）在实数域上所有 2 阶方阵构成的线性空间 2 2
R
中，令
1
1 1
1 1
， 2
1 1
0 1
， 3
1 1
1 0
， 4
1 0
1 1
.
(1) 证明 1
， 2
， 3
， 4
是线性空间
2 2
R
的一组基;
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