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桂林电子科技大学硕士研究生入学考试复试试卷
考试科目代码：219 考试科目名称：概率论与数理统计
请注意：答案必须写在答题纸上（写在试卷上无效）。
1.(16 分) 设一袋子中有 10 只红球，5 只白球。每次随机取出一球。取出观察颜色后，将原球放回，
再加入 1 只异色球。若从袋中连续取两次球。试求：
（1）取出的两只球均为白球的概率； （2）取出的两只球一红一白的概率。
2.(14 分) 设随机变量 X 为一颗均匀的骰子在一次抛掷后，面朝上的点数。试求：
（1） X 的分布函数 F x ； （2） 2
1Y X 的分布列。
3.(14 分)设 X 与Y 是两个相互独立的随机变量， (0,1)X U ， (1)Y Exp 。试求：
（1） X 与Y 的联合密度函数； （2） { }P Y X 。
4．(14 分)设随机变量 ,X Y 不相关，且 4
2, 1, 3, 50 E X E Y Var X E X 。试求：
（1） 2E X X Y ； （2） 2
Var X
5．（12 分）设 j
X 服从泊松分布，即 ( ), 1, 2, ,j j
X P j k ，且 1 2
, , , k
X X X 相互独立。令
1
k
j
j
Y X
。试求：
（1） j
X 的特征函数 jX
t ； （2）Y 也服从泊松分布。
6.（16 分）设总体 X 的概率密度为：
1
, 1
; 1
0
x
f x
其 他
其中 为未知参数。 1 2
, , , n
X X X 为来自该总体 X 的简单随机样本。
（1）求 的矩估计量； （2）求 的最大似然估计量。
7.（14 分）设总体 ( )X F x: ，且有 ( )E X ， 2
( )Var X ， 1 2
, , n
X X XL 是 X 的样本，
样本方差 2 2
1
1
( )
1
n
i
i
s X X
n
。试证 2
s 是 2
的无偏估计。
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