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桂林电子科技大学硕士研究生入学考试复试试卷
考试科目代码：219 考试科目名称：概率论与数理统计（A 卷）
请注意：答案必须写在答题纸上（写在试卷上无效）。
一、计算题（每小题 10 分，共 30 分）
1.一颗骰子掷两次， X 表示两次点数的最大数。试求:
（1） X 的分布列；
（2）写出 X 的分布函数。
2. 设随机变量 2
~ 0,X N ，试求： 4
E X 。
3. 设随机变量 ,X Y 不相关， 2, 1E X Var Y E Y 。试求 2E X X Y
二、 证明题（每小题 10 分，共 30 分）
1.设 A,B,C 三事件相互独立，试证 A-B 与 C 独立。
2.设连续随机变量 X 的密度函数 )(xp 是一个偶函数， ( )F x 为 X 的分布函数，
试证： ( < )=2 ( )P X a F a -1。
3. 设随机变量 X 的数学期望 ( )E X 和方差 ( )Var X 均存在。试证明：对 0 ，有
2
( )
{ ( ) }
Var X
P X E X
。
三、计算题（每小题 10 分，共 20 分）
1.设总体 X 服从正态分布，即 ),(~
2
NX ， ,, 21
XX … n
X, 是 X 的样本。试求a 使
n
i
n
j
ji
XXa
1 1
ˆ 为 的无偏估计。
2. 设总体 X 的概率密度为：
1
1
1
0
x
f x
其 他
。
其中 为未知参数。 1
, , n
X XL 为总体 X 的样本。试求 的矩估计和最大似然估计。
四、证明题（每小题 10 分，共 20 分）
1. 证明：如果已知总体 X 均值为 XE 。则统计量：
2 2
1
1
ˆ
n
i
i
x
n
是总体 X 方差 XD
2
的无偏估计。其中 1 2
,X X ，… n
X 是总体 X 的样本。 。
2. 设总体 ( )X F x: ，且有 ( )E X ， 2
( )D X ， 1
, , n
X XL 是 X 的样本。试证：
2 2
( )E s 。
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