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桂林电子科技大学 2014 年硕士研究生入学考试复试试卷
考试科目代码： 考试科目名称：常微分方程（A 卷）
请注意：答案必须写在答题纸上（写在试卷上无效）。
一、填空题（每小题 3 分，本题共 12 分）
1, 方程 ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy 存在只与 y 有关的积分因子 ( )y ，则 ( )y = 。
2, 如果 ，则函数 ),( yxf 称为在矩形域 R 上关于 y 满足利普希兹条件。
3, 形如 的方程称为克莱罗（Clairaut）方程。它的通解为 。
4, 方程 02 yyy 的基本解组是 。
二、（10 分）求初值问题 20,11:,
1)0(
22
yxR
y
xyy
的解的存在区间，并求第二次近似解。
三、求解下列方程：（每小题 7 分，共 28 分）
1． 0)3()1( dyyxdxyx , 2．
2
'' 'yy y ,
3. 0)( dyxyydx , 4． 2 2
'' ( ') lnyy y y y .
四、解下列各题：（20 分）
1．（5 分）求方程 x
eyyy
2
5'6'' 的通解；
2、（15 分）解方程组
t
t
eyxy
eyxx
34'
'
。
五、（5 分）、确定方程组
' 2 -7 +19
' -2 + 5.
x x y
y x y
，
的奇点类型，并画出奇点周围轨线分布草图。
七、（25 分）证明与讨论题：
1. （10 分）讨论当 qp, 取什么数值时，方程 0''' qypyy 的一切解在 ),[ a 上有界，其中a 是
常数。
2. （15 分） 设 )(,),( 11
tXtX n
是一阶线性非齐次方程组 )()(' tFXtAX 的 1n 个线性无
关的解，证明该方程组的通解为 )()()()( 112211
tXctXctXctX nn
，其中 121
,,, n
ccc
满足 1121
n
ccc 。
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