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广西民族大学 2010 年硕士研究生入学考试试题
（所有试题答案必须写在答题纸上，答案写在试卷上无效）
学科专业： 基础数学、应用数学、计算数学 研究方向：
考试科目：高等代数 试卷代号：A 卷
1．（15 分）计算下列行列式:
1 2
1 2
1 2
n
n
n
x m x x
x x m x
x x x m
−
−
−
L
L
M M L M
L
.
2.（15 分） 已知
0 1 1
1 0 1
1 1 0
−⎡ ⎤
⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢− ⎥⎣ ⎦
A
求一正交矩阵 T 使 ′T AT 成对角形。
3. (15 分) 已知 1 ( 1,0,2)η = − ， 2 (0,1,1)η = ， 3 (3, 1,0)η = − 。 A 是
3
P 中的线性变换，且
1 2 3( 5,0,3), (0, 1,6), ( 5, 1,9)η η η= − = − = − −A A A 。求 A 在基 1 (1,0,0)ε = ， 2 (0,1,0)ε = ，
3 (0,0,1)ε = 下的矩阵。
4. (15) 讨论 ,a b 取什么值时,线性方程组
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4,
3,
2 4.
ax x x
x bx x
x bx x
+ + =⎧
⎪
+ + =⎨
⎪ + + =⎩
有解,并求解.
5. (15 分) 证明：如果方程组
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =⎧
⎪ + + + =⎪
⎨
⎪
⎪ + + + =⎩
L
L
LLLLLLLLL
L
对任何 1 2, , , nb b bL 都有解,则| ( ) | 0ij nna ≠ 。
6. (15 分)设
0
0
A
X
C
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
，已知 ,A C 可逆，求
1
X −
。
7．（15 分）设 A 是 n 级方阵，若对任意的 n 维向量 x ，有 x =A 0，则 0A = 。
8. (15 分) 设A 是一个n 阶实对称矩阵，且 A 0< 。证明存在实n 维向量X 使得 '
X AX 0< 。
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