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◇◆◇ 第 306 期 ◇◆◇ 研究生数学试题汇解 mxcaimaths@163.com
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东南大学 2011 数学分析考研试题参考解答
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引言
本文是东南大学 2011 年硕士研究生入学考试《数学分析》试题的参考解答．试题来自
网络．第 6 题求曲线弧长．第 9 题用 Gauss 公式计算曲面积分．第 12 题用 Taylor 展开估计
定积分．第 13 题分部求和．第 14 题由参变量求导计算反常积分．
试题
—、（20 分）判断题（判断下列命题正误，若正确请证明，否则请给出反例说明．本大题共
4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
1、若两个数列 nx 和 ny 的乘积 n nx y 是无穷小数列，则这两个数列中至少有一个数
列是有界数列．
2、区间 ,a b 上的连续函数如果在有理点都为 0，则必恒为 0．
3、若无穷积分 1
f x dx
收敛，则 2
1
f x dx
也收敛．
4、若二元函数 在点 ,z f x y 0 0,x y 的两个偏导数 0 0 0 0, , ,x yf x y f x y 都为 0，则
在点 ,z f x y 0 , 0x y 必取得极值．
二、（50 分）计算题（本大题共 5 小题，每小题 10 分，满分 50 分）
5、求极限
2
2
10
cos
ln 1
lim
x t
x
x
e dt
．
6、求曲线
3
2
y x 上从原点到点 0M 的弧长，已知 0M 处的切线与 :轴正向成ox
3
的角．
7、 ，其中 2 3 , cosz f x y y x ,f u v 具有连续的二阶偏导数，求
2
,
z z
x x y
．
8、设 为圆周L 2 2
4x y ，取顺时针方向，试计算曲线积分
2 2
9
9L
y x dx y x dy
I
x y
．
9、设 是由曲面 2 2
z x y 与
2 2
2z x y 所围成的立体的表面的外侧，试计算
曲面积分
2
2xzdydz yzdzdx z dxdy
．
三、（60 分）证明题（本大题共 5 小题，每小题 12 分，满分 60 分）
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