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◇◆◇ 第 305 期 ◇◆◇ 研究生数学试题汇解 mxcaimaths@163.com
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东南大学 2010 数学分析考研试题参考解答
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引言
本文是东南大学 2010 年硕士研究生入学考试《数学分析》试题的参考解答．试题来自
网络．第 5 题计算单侧极限．第 7 题求旋转体的体积．第 8 题用 Hardy 函数变换求解简单的
积分方程．第 12 题分别用单调收敛定理和压缩映射定理求递推式的极限．第 13 题用单调性
和 Taylor 中值定理证明不等式．第 18 题证明一致 Lipschitz 函数列一致收敛．
试题
—、判断题（判断下列命题正误，若正确请证明，否则请给出反例说明， 本题共 4 小题，
每小题 6 分，满分 24 分）
1、有限开区间 上的有界连续函数必是一致连续． ,a b
2、 上的任一函数，如果它在,a b ,c a b 可导，则它必在 c 点的某邻域内连续．
3、任一幂级数 的和函数在其收敛区间内总是无穷次可导．
0
n
n
n
a x
4、如果函数 ,z f x y
2
在区域 上每一点处的两个偏导数都存在，则
在区域 上处处可微．
2
D ,z f x y
D
二、计算题（本题共 7 小题，每小题 8 分，满分 56 分）
5、极限
2
1
20
2 1
lim
1
1
xx
xx
x
e e
e
e
存在吗？若存在，试求出此极限．
6、设 由方程 y y x 2 2
y f x y f x y 所确定，且 0y 2 ，其中 f x 是
可导函数，且
1
2 , 4 1
2
f f ，求 0y ．
7、设 是由抛物线1D 2
2y x 和直线 , 2,x a x y 0 所围成的区域， 是由抛物线2D
2
2y x 和直线 所囤成的区域，其中 0 20,y x a a ．
（1）求由 1 绕D x 轴旋转所成旋转体的体积 1 ，和由 2 绕 y 轴旋转所成旋转体的体
2V ；
V D
积
2（2）问当 为何值时， 取得最大值？求此最大值．a 1V V
8、设对任意 ，曲线0x y f x 上的点 ,x f x 处的切线在 y 轴上的截距等于
0
1 x
f t dt
x ，求 f x 的一般表达式．
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