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东 南 大 学
二〇〇八年攻读硕士学位研究生入学考试试题
试题编号：601 试题名称：数学分析
一．判断题（判断下列命题正误,若正确请证明,否则请给出反例说明（本题
共 4 小题,每题 6 分,满分 24 分）.
1.区间 I 上的一致连续的函数总是有界的.
2.若有界函数 ( )f x 在[ , ]a b 上黎曼可积,则 ( )f x 在[ , ]a b 上至多有有限个间断
点.
3.若
0
n
n
n
a x
∞
=
∑ 的收敛半径为 0R > ,且
0
n
n
n
a R
∞
=
∑ 收敛,则
0
n
n
n
a x
∞
=
∑ 在[0, ]R 上一致
收敛.
4.若函数 ( , )z f x y= 在点 0 0( , )x y 处不可微,则函数 ( , )z f x y= 在该点的所有
方向导数不可能都存在.
二．计算题（本题共 6 小题,每题 8 分,满分 48 分）.
5.求极限
3
ln(1 )
0
lim(1 2 ) x
x
x +
→
+ .
6.求函数 21 1
( ) ln(1 ) arctan
2
f x x
x
= + + 的极值及曲线 ( )y f x= 的拐点.
7.令 2 21
, ( )
2
x uv y u v= = − ,变换方程
2 2
2 2
1
( ) ( )
z z
x y x y
∂ ∂
+ =
∂ ∂ +
.
8.求二重积分
2
2 y
D
x e dxdy−
∫∫ ,其中 D 由 0,x x y= = 与 1y = 围成.
9.设 曲 线 Γ 是 由 球 面 2 2 2
1x y z+ + = 与 平 面 1x y z+ + = 的 交 线 , 求 积 分
2
( )x y ds
Γ
+∫ .
10.计算 4 3
( ) ( )
S
x z dydz z x dxdy+ + +∫∫ ,其中 S 为抛物面 2 21
( )
2
z x y= + 在平面
2z = 下面的部分,方向取下册.
三．证明题（本题共 6 题,每题 10 分,满分 60 分）.
11.设 ( )f x 在[0,4] 上连续,在(0,4) 上可导,假定 (0) 1f = ,且 (1) (2) (3)f f f+ + +
(4) 2f = ,证明存在一点 (0,4)ξ ∈ ,使 '( ) 0f ξ = .
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