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东南大学
2011年硕士研究生入学考试初试试题（ )
科目代码： 933 满 分 ： 分
科目名称： 高等代数
注 意 ：①认真阅读答》纸上的注意事項；②所有答案必须写在疼■題纸 1^ ，写在本试題纸
或草稿纸上均无效；③本试题纸须随答& 纸一起装入试题袋中交回!____________
(20%) S n > 2 , 问：当a 取什么值时，线性方程组
(lH-a)x, + x2+-”+x„ =1
2x, +(2 + a)x2+ ■■■+ 2x„ = 2
nx, +72*2 +--- + (n+a)jf„ = n
没有解、有唯一解、有无穷多j辉7 当线性方程组有无穷多解时，求其通解。
(15% ) 假 设 矩 阵 4 满足f + 2 4 - 3 £ = 6>。问：当正整数免满足什么条件
时，矩阵J + A E 可逆？当d + /fc£可逆时，将04 + 狀广1表示成关于3 的多项式。
三. （1 5 % ) 记/ > M 是数域/>上的多项式环。假设/(x),g(jc)eP[x]不全为零，m(x)
是 / 0 ) 与g ⑷ 的 所 有 组 合 中 次 数 最 低 的 非 零 多项式•证明：m(x)是/(x)与g(jc)
的最大公因式。
四. （20 % ) 假 设 fl,6，c 是不全为零的实数，二次型
f(x1,x2,x3)= (xl+x2+ xs)(axl+bx2+cx3) 。
证明： / 的 秩 等 于 2 当 且 仅 当 a ，6 ，c 不全 相 等 。当 / 的 秩 等 于 2 时 ，求 / 的 正 、
负惯性指数。
五. （咖 ）设 是 2 x 2 复矩 阵在通常运算下构成的复数域上的线性空间， d
的线性变换/ 定义如下：对 任 意 / = 6 ] e C M , f ( X ) J a ~ b a ~ b )
V c d) Lc + d 2c + 2d)
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933高等代数
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