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大连理工大学 2005 攻读硕士研究生考试试题
数学分析试题解答
一、 计算题
1、 求极限： 1 2
2
2 ...
lim , limn
n
n n
a a na
a a
n
其 中
解：
1 2 1
2 2 2
2 ... ( 1) ( 1)
lim lim lim ( )
( 1) 2 1 2
n n n
n n n
a a na n a n a a
Stolz
n n n n
利 用 公 式
2、求极限：
21
lim (1 )
x x
x
e
x
解：
2
2
2
2 2
2
1
(1 )
1
lim (1 ) lim ( )
1 1 1 1
(1 ) (1 ) (ln(1 ) )
1lim lim
1 1
1 1 1 1
( ( ))
2 1lim
1 2
1
(1 )
1 12lim (1 ) lim ( ) lim ( )
x
x x x
x x
x x
x x
x
x
x x x x
x x x
xe
x e
e
x x x x
x x
o
ex x x xe
x
e
e
x xe
x e e e
3、证明区间（0，1）和（0，+ ）具有相同的势。
证明：构造一一对应 y=arctanx。
4、计算积分 2
1
D
dxdy
y x
，其中 D 是 x=0,y=1,y=x 围成的区域
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