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北 京 科 技 大 学
2013 年硕士学位研究生入学考试试题
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试题编号： 613 试题名称： 数学分析 （共 2 页）
适用专业： 数学，统计学
说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。
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1．（20 分） （1）、设 , , ( )z f x y u xy xF u ，其中 F 为可微函数，且
y
u
x
，
证明：
z z
x y z xy
x y
.
（2）、设
z
y
u x ，求：
2
2
,
u u
z z
。
2．（20 分）（1）设 ( )f x 在 ,a b 上连续, 21
( ) ( ) ,
4
b b
a a
f x dx f x dx 则存在
( , ),a b 使得 2 1
( ) ( ) .
4 ( )
f f
b a
（2）求极限
1
0
lim e d
x xt
x
t
3. (20 分) 设
( ) e
, 0
( )
0, 0
x
g x
x
f x x
x
，其中 ( )g x 有二阶连续的导数，且
(0) 1g ， (0) 1g ，求 ( )f x , 并讨论 ( )f x 在( , ) 上的连续性.
4．（15 分）设 ( )f x 在 0,1 上连续可微, 且 (0) 0, (1) 1,f f 求证：
（1） [ 0 , 1 ] , | ( ) ( ) | ( ) .
x
x f x f x e f x
（2）
1
1
0
| ( ) ( ) | d .f x f x x e
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