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北 京 科 技 大 学
2012 年硕士学位研究生入学考试试题
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试题编号： 613 试题名称： 数学分析 （共 2 页）
适用专业： 数学，统计学
说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。
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1．（20 分）（1）求极限
1
lim ( 1)( 2) (2 )n
n
n n n
n
。
（2）证明积分 2
0
ln(sin )x dx
收敛且求其值。
2．（20 分）（1）证明：对于 0 ，级数
1
2
tan)1(
n
n
n 都收敛。
（2）设 ( )f x 连续，求极限lim ( )
x
ax a
x
f t dt
x a
。
3．（15 分）已知给定函数
1
( ) sin ,
( )
0,
m
x a x a
f x x a
x a
(m 为正整数), 试
讨论 ( )f x 在 x a 的连续性与可导性以及导函数 ( )f x 在 x a 的连续性。
4．（15 分）设函数 ( )f x 在[0, ]b 上连续，且
0
( ) ( ) 0, [0, ]
x
f t dt bf x x b ，证
明： ( ) 0f x 。
5．（15 分）设 f x 在 ,a b 连续， 1 2
, , , ,n
x x x a b 。证明：存在 ,a b ，
使
1
1
( )
n
i
i
f f x
n
。
6．（15 分）已知曲线
2 2 2
2 0
:
3 5
x y z
C
x y z
，求曲线C 距离X O Y 面最远的点和
最近的点。
7．（15 分）设 f x 在 ,a b 连续，在 ,a b 可导，且 0f x 。试证明：存在
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