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随机过程
1、（8 分）设 ( )g t 满足 ( ) ( )g t T g t ，又随机变量 在 (0, )T 上服从均匀分布，记
( ) ( )X t g t ，试证明：
0
1
[ ( ) ( )] ( ) ( )
T
E X t X t g t g t dt
T
。
2、（15 分）设 ( )W t 是标准的布朗运动，试求 Ito 积分( ) ( ) ( )
b
a
I W t dW t 。
3、（10 分）设{ ( ), 0}X t t 是参数为 的泊松过程，试证： ( ) ( 1) ( ), 0Y t X t X t t 是
平稳过程。
4、（15 分）设有一个离散时间的平稳白噪声 ( )X n ，其自相关函数为
2
( ) ( )X X
R n n ，将
( )X n 输入一个 IIR（无限冲激响应）滤波器，输出 ( )Y n 与输入 ( )X n 之间有如下关系：
( ) ( ) ( 1)Y n X n aY n
其中| | 1a 。试求 ( )Y n 的自相关函数 ( )Y
R m 及功率谱密度 ( )
j
Y
S e
。
5、（12 分）设随机过程 ( ) sin cos ,X t A t B t t ，其中 A B、 是相互独立的
均值为零、方差为
2
的高斯（正态）随机变量，试问：
1） ( )X t 的均值是否各态历经？ 2） ( )X t 的均方值是否各态历经？
6、（15 分）考察电子管中的电子发射问题。设在单位时间内到达电子管阳极的电子数目 N
服从泊松分布，为： ( )
!
k
P N k e
k
。又假设每个电子携带的能量构成一个随机变量序
列 1 2
, ,X X ， 并 且 { , 1 }n
X n 与 N 统 计 独 立 ， 而 { }n
X 之 间 互 不 相 关 ，
2
,n n
EX DX 。若单位时间内阳极接收到的能量为
1
N
k
k
W X
，试证明：
1） EW ； 2）
2 2
( )DW
7、（15 分）设 ( ) cos( )X t t ，其中 为常数， 是实随机变量且其特征函数为 ( )v 。
试证明： ( )X t 是平稳过程的充要条件是 (1) (2) 0.
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