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矩阵论
1、（10 分）设
n n
C D R
、 ，
0C
A
D E
， ( ) 1C ，求lim
k
k
A
.
2、（12 分）已知 1 2 3
, , 是 3 维线性空间V 的一组基，向量组 1 2 3
, , 满足
1 3 1 2 3
， 1 2 2 3
， 2 3 1 3
1) 证明： 1 2 3
, , 也是V 的一组基，并给出从基 1 2 3
, , 到基 1 2 3
, , 的过渡矩阵；
2) 求向量 1 2 3
2 在基 1 2 3
, , 下的坐标。
3、（12 分）设 T
1 2 3
8 3 6
3 2 0 , ( , , )
4 2 2
A x x x x
，求解线性微分方程组
dx
Ax
dt
4、（14 分）设线性空间
3
V 中的线性变换T 在基 1 2 3
, , 下的矩阵为
1 2 2
2 1 2
2 2 1
A
1） 证明：子空间 2 1 3 1
( , )W L 是T 的不变子空间。
2） 将T 看作子空间W 中的线性变换时，求T 得全体特征值。
5 、（ 10 分 ） 设 n 阶 矩 阵 A 的 秩 ( )rank A r ， 且 A 的 k 阶 顺 序 主 子 矩 阵
det( ) 0k
A ( 1, 2, , )k r ，证明： A 可以进行三角分解 A LU ，且 L 或U 是可逆矩阵。
6、（10 分）设
9 6 2
18 12 3
18 9 6
A
，求
A
e 的 Jordan 标准形。
7、（10 分）设
3 1 1
1 2 1
2 1 0
A
，求sin A
8、（10 分）设 ,
m n m
A R b R
。对于矛盾线性方程组 Ax b ，使得函数
2
2
( ) || ||f x Ax b
取最小值的向量
*
x 为方程组的最小二乘解。假设
T
A A 为正定矩阵，试给出该方程组最小二
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