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数理统计
1、(8 分) 试证：若 1 2
, , , n
X X X 是来自于均值为 ，有限方差为
2
的母体的一个子样，
那么 X 和
2
S 分别是 和
2
的无偏估计。
2、(10 分) 试证明：若 ( )T X 是 ( )q 的估计，那么
2
(| ( ) ( ) |) ( ( ) ( ))E T X q E T X q
，
当且仅当 ( )T X 为常量时等号成立。
3、(10 分) 设 11 2
, , , n
X X X 和 21 2
, , , n
Y Y Y 是两个分别取自正态分布 2
( , )N 和 2
( , )N
的独立样本。试给出
2
2
的显著性水平为(1 ) 的置信区间。。
4、（10 分) 某流水线上每个产品不合格的概率为 (0 1)p p ，各产品合格与否相互独立，
当出现一个不合格产品时即停机检修。设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为 X ，
求其数学期望 ( )E X 与方差 ( )D X 。
5、(12 分) 假设 X Y、 是独立的，且 ( ,1), ( ,1)X N Y N 。设 , ( , )
，定
义
2 1/2 1
0, | | (1 ) (1 )
( , , ) 2
1,
X Y z
X Y
否 则
证明： 0
( , , )X Y 是关于假设 0
:H 的真实水平为 的检验。
6 、 (10 分 ) 设 1 2
, , , n
Y Y Y 分 别 是 在 时 刻 1 2
, , , n
t t t 时 取 得 的 观 测 值 ， 设
1 2
( ) (1 )i i
E Y t i n ,且如果 ( )i i i
Y E Y 则 i
满足正态分布。假设
'
1
i
i j
j
，其
中
'
i
是独立同分布的正态分布
2
(0, )N 随机变量。求 1 2
( , , , )n
Y Y Y 的一个线性变换，使得
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