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空军工程大学 2013 年博士研究生入学试题
考试科目： 随机过程 （A 卷） 科目代码 2091
说明：答题时必须答在配发的空白答题纸上，答题可不抄题，但必须写清题号，
写在试题上不给分; 考生不得在试题及试卷上做任何其它标记，否则试卷作废，
试题必须同试卷一起交回。
一、（16 分）设 { ( ), }T
X X t t T 是正态过程，且
2
( ) 0E X t ，证明： T
X 是马
尔可夫过程的充要条件是其规范化相关函数满足：
( , ) ( , ) ( , ), ,r s u r s t r t u s t u
其中规范化相关函数
( , )
( , )
( , ) ( , )
X
X
R s t
r s t
R s s R t t
二、(10 分)设 ( ), [ , ]X t t a b 是一正态过程，若 ( )X t 在[ , ]a b 上均方可积，令
( ) ( )
t
a
Y t X s ds ，证明 ( ), [ , ]Y t t a b 是正态随机过程。
三、(12 分)设 ( ), 0X t t 是状态空间为 0,1I 的马尔可夫过程，转移概率矩阵
( ) ( ), ,ij
P t p t i j I 为标准阵，且
0 0 0 1 1 1
0 0
1 1
lim 1 ( ) , lim 1 ( )
t t
p t q p t q
t t
求：（1） ( )P t ，在 0 0
(0) 0 , 0 1P P X P 时；
（2） ( ) , ( )E X t D X t .
四、（12 分）已知一个独立随机变量序列 1 2
, , , ,n
X X X ，有 ( ) ( )nX n
f x f x ，令
1 1 2 1 2 1 2
, , , n n
Y X Y X X Y X X X ，若 ( ) 0n
E X ， n
X 与 1n
Y 独立，
证明： 1 2 1 1
( | , , , )n n n n
E Y Y Y Y Y
.
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