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空军工程大学 2013 年博士研究生入学试题
考试科目： 矩阵论 （A 卷） 科目代码 2031
说明：答题时必须答在配发的空白答题纸上，答题可不抄题，但必须写清题号，
写在试题上不给分; 考生不得在试题及试卷上做任何其它标记，否则试卷作废，
试题必须同试卷一起交回。
一、 （8 分）令 A 为实对称矩阵， B 为实反对称矩阵，且两个矩阵是乘积可交
换的，即 AB BA ，证明：若 A B 非奇异，则 1
( )( )A B A B
是正交矩阵.
二、（12 分）设矩阵空间 2 2
R
的子空间为 2 2 11 12 21
{ ( ) | 0}ij
V X x x x x
，给定
V 中的线性变换为 ,
T
TX X X X V
（1） 求V 的一个基；
（2） 求V 的一个基，使得T 在该基下的矩阵为对角矩阵.
三、（8 分）设 m n
A R
，证明在列向量空间 m
R 中，有 ( ) ( )R A N A
．
四、（16 分）令 y 是一实值随机变量,由 y x e 描述,其中 x 是一个确定的向量，
为常数，e 为一零均值随机变量．其协方差矩阵 C
R 非奇异．现希望利用数
据向量 y 确定 的最优线性无偏估计．为此令 ˆ T
w y ，求最优滤波器w ，并
求最优估计方差．
五、（16 分）令 A 和 B 为对称矩阵，且满足
, ,I A I B I A B
证明： AB O （零矩阵）。
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