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空军工程大学 2012 年博士研究生入学试题
考试科目： 矩阵论 （A卷） 科目代码 2061
说明：答题时必须答在配发的空白答题纸上，答题可不抄题，但必须写清题
号，写在试题上不给分; 考生不得在试题及试卷上做任何其它标记，否则试
卷作废，试题必须同试卷一起交回。
1. （8 分）设欧氏空间 n
V 的一个基为 1 2
, ,..., n
x x x ，它的度量矩阵为A 。证
明：存在实对称正定矩阵C ，使得由
1 2 1 2
( , ,..., ) ( , ,..., )n n
y y y x x x C
确定的基 1 2
, ,..., n
y y y 为 n
V 的标准正交基。
2. （10 分）证明：欧氏空间 n
V 的线性变换T 为反对称变换，即
( , ) ( , ), ( , )
n
Tx y x Ty x y V
的充要条件是T 在 n
V 的标准正交基下的矩阵为反对称矩阵。
3. （12 分）已知
1 1
0 1
B
，线性空间
2 2 11 22
{ ( ) | 0, }ij ij
V X x x x x R
的变换T 为
( )
T T
TX B X X B X V
(1) 验证T 是一个线性变换
(2) 求V 的一个基，使得T 在该基下的矩阵为对角矩阵
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