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中国科学院长春应用化学研究所
二О О 八年攻读博士学位研究生入学考试
量子力学试题
一、回答下列各问题（共 30 分）
1．束缚态、非束缚态及相应能级的特点。
2． 2
( , )z
L L 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？
3．证明在 z
L 的本征态下， 0x y
L L 。
4．相互不对易的力学量是否一定没有共同的本征态？试举例加以说明。
5．一维运动中，哈密顿量
2
( )
2
p
H V x
m
，求 , ? , ?x H p H 。
6．写出电子自旋 z
s 的二本征值和对应的本征态。
7．证明任一算符 F，总可写成 F A iB ，其中 A，B 是厄密算符。
8．何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？
9．给出一维谐振子升、降算符 ,a a
的对易关系式，粒子数算符 N 与 ,a a
的关系，
哈密顿量 H 用 N 或 ,a a
表示的式子，N（亦即 H）的归一化本征态。
10．粒子在宽为 a 的无限深方势阱中运动，估算其基态能量。
二、（共 15 分）
对于一维自由粒子，
（1） 设波函数 0 /
( , 0)
ip x
x e
，求 ( , )x t 。
（2） 设波函数为 /1 1
( ) ( )
2 2
ikx ipx
x x e dx e dp
，可以看成无穷
多个平面波 i k x
e 的叠加，即无穷多个动量本征态 /i p x
e
的叠加，试问
( ) ( )x x 是能量本征态吗？
（3） 设粒子在 0t 时刻 ( , 0) ( )x x ，求 ( , )x t 。
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