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中国科学院长春应用化学研究所
二О О 六年攻读博士学位研究生入学考试
量子力学试题
一．（25 分）回答下列问题：
1．1924 年，德布罗意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有
波动性，对于具有一定动量 p 的自由粒子，请写出它的德布洛意关系式。
2．波函数 ( , )r t
是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？
2
( , )r t
的物理
含义是什么？
3．设矩阵 A 和 B 满足
2
0, 1A AA A A
， B A A
（a） 证明 2
B B ；
（b） 在 B 表象中写出 A 的矩阵表示（设 B 本征态无简并）。
4．坐标 x 分量算符与动量 x 分量算符 ˆ x
p 的对应关系是什么？并写出两者满足的不确定
关系。
5．当自由电子与中子的德布罗意波长均为 10-10m 时，求它们各自具有的能量。若它
们的速度相等，求出电子与中子波长之比的值。
6．证明 2
ˆ x
2
ˆ y
2
ˆ z
1 0
0 1
，并求出它们的本征值。
二．（15 分）两个自旋为
2
的非全同粒子构成一个复合体系，设两个粒子之间无相互作用，
若一个粒子处于
2
z
s
状态，而另一个粒子处于
2
x
s
状态，求体系处于单态的概率。
三．（20 分）能量为 0
3E V 的粒子射向如下势场
0
0
0 ( 0)
( ) (0 )
2 ( )
x
V x V x a
V x a
求粒子的透射和反射系数。
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