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中国科学院长春应用化学研究所
2013 年攻读博士学位研究生入学试题
量子力学
一、回答下列问题（共 32 分）
1．束缚态、非束缚态及相应能级的特点。（2 分）
2．粒子在宽为 a 的无限深方势阱中运动，估算其基态能量。（5 分）
3．何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？（3 分）
4．波函数 ( , )r t
是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？
2
( , )r t
的物理含义是什么？（3 分）
5．写出电子自旋 z
s 的二本征值和对应的本征态。（2 分）
6．判断下列提法的正误（正确，错误×）（5 分）
1）在非定态下，力学量的平均值随时间变化；（ ）
2）设体系处于定态，则不含时力学量的测值的概率分布不随时间变化；（ ）
3）中心力场中的粒子能级的简并度至少为（2L+1），L=0，1，2，…;( )
4）一维粒子的能量本征态无简并；（ ）
5）设 Hamilton 量为守恒量，则体系处于定态。（ ）
7. 定义算符
式中算符 是幺正算符。证明 与 都满足厄米算符。（4 分）
8. 在 z
表象中，求 x
的本征态。（8 分）
二、（共 8 分）
设矩阵 A 和 B 满足
2
0, 1A AA A A
， B A A
(1) 证明 2
B B ；
(2) 在 B 表象中写出 A 的矩阵表示（设 B 本征态无简并）。
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