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中国科学院长春应用化学研究所
2013 年攻读博士学位研究生入学试题
高等数学（三）
1．（10 分）
（1）求极限
n
n
n
2
21
1
lim 。
（2）确定常数a 使函数
0,
,
2
1
,
)1ln(
1sin21
)(
xa
x
xx
xx
xf 在 0x 处连续。
2．（10 分）计算积分
（1） ,
22
3
xa
dxx
其中 0a ，
（2）
1
0
)1(
arccos
dx
xx
x
。
3．（8 分）讨论方程 xe
x
4 有几个实根。
4．（10 分）计算二重积分
D
drdrrI 2cos12sin
23
， 其中
20,cossin0,
cos
1
0, rrD 。
5．（10 分）求级数 n
n
x
n
nn
0
2
1
22
的收敛半径和相应的和函数。
6．（10 分）求下面方程的解
。0)0(
,)
4
3sin()(9
00
y
dttdtty
dx
dy xx
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