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中国科学院长春应用化学研究所
2012 年攻读博士学位研究生入学试题
量子力学
一、回答下列各问题（共 30 分）
1．计算对易关系 ˆ ,L
，其中 , , ,x y z 。（4 分）
2．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态和负宇称态（3 分）
3．粒子自旋处于 / 2z
s 的本征态
1
0
，试求 x
s 和 y
s 的不确定关系：
2 2
( ) ( ) ?x y
s s 。（5 分）
4．粒子在宽为 a 的无限深方势阱中运动，估算其基态能量。（3 分）
5．写出电子自旋 z
s 的二本征值和对应的本征态。（2 分）
6．设粒子处于 ( , )lm
Y 状态下，求 2
( )x
L 和 2
( )y
L （6 分）
7．计算下列对易式 2
(1) , ? (2) , ?
d d
x x
dx dx
。（4 分）
8．何谓光的吸收？何谓光的受激辐射？何谓光的自发辐射？给出光学定理的表
达式并说明它的意义。（3 分）
二、（共 10 分）
两个自旋 1/2、质量为 m 的无相互作用的全同费米子同处线性谐振子场中，
写出基态和第一激发态的能量本征值和本征函数，并指出简并度。
三、（共 20 分）
已知氢原子在 0t 时处于状态
2 1 3
1 1 11 2 2
( , 0) ( ) ( ) ( )
0 0 03 3 3
r r r r
其中， ( )n
r 为氢原子的第 n 个能量本征态。求能量及自旋 z 分量的取值概率与
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