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819 高等代数 第 1 页 共 1 页
苏州科技学院
2011 年硕士研究生入学考试初试试题
科目代码： 819 科目名称： 高等代数 满分： 150 分
注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均
无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！
1.（20 分） m ， p ， q 满足什么条件时，有 qpxxmxx
32
|1 .
2.（20 分）特征值全为实数的n 阶实方阵是否一定相似于对角矩阵？如果是，请给出
证明，否则，举出反例。
3.（20 分）若 可由 r
,,, 21
线性表示，证明：表示法唯一的充分必要条件是
r
,,, 21
线性无关。
4. （20 分）设 2,1,1, 4 是 4 4 矩阵 A 的特征值，计算行列式 2
2 7A ，其中 为
4 4 阶单位矩阵.
5.（20 分）设 是 n 维线性空间V 的线性变换，证明： 2
当且仅当存在V 的子空
间W 及 1
W ，使得 1
WWV ，且 W ， 1
W ，有 )( ， 0)( .
6. （20 分）证明：若 , 都是正定矩阵，则 的根都是正数。
7.（20 分） 设 n 阶方阵 A 的行列式为 A d ，矩阵 E A 的特征值的绝对值都小于 1，
其中 E 为 n 阶单位矩阵，证明：0 2
n
d ，其中 d 表示d 的绝对值。
8. （10 分）设 , 0, , 0.
n n n k
A R k A
若 证 明 ： 对 任 意 正 整 数
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