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苏 州 科 技 学 院
2010 年攻读硕士学位研究生入学考试试题
专业： 基础数学 考试科目： 高等代数 科目代码： 818
请考生注意：试 题 解 答 务 请 考 生 做 在 专 用 “答题纸” 上；
做在其它地方的解答将视为无效答题，不予评分。
1. （ 20 分 ） 设 ,f x g x 不 全 为 零 ， 证 明 : 如 果 , ,f x g x d x 则
,
n n n
f x g x d x 。
2.（20 分）若向量 可由向量组 1 2
, , , s
线性表示，证明：表示法唯一的充
分必要条件是 1 2
, , , s
线性无关。
3. （20 分） 设 为 n 阶实方阵，证明： r r r ，其中 r 表
示矩阵 的秩， 表示矩阵 的转置。
4.（20 分）设 是 n 维线性空间V 的线性变换，证明：
1
dim dim 0V n
，其中 dim V 表示线性空间V 的维数。
5.（20 分）设 是 n 维线性空间V 的线性变换，证明：若 1
, 0
n
V
，但
0
n
，则对任意 V ，有 0
n
，并求 的核的维数。
6.（20 分）设 , 是数域 上的 n 阶方阵， 是 n 阶单位矩阵，且 ，证
明:（1）
1
；
（2） 。
7. （20 分）设 是 n 维欧氏空间V 的正交变换，V 的子空间W 是 的不变子空
间，证明：W 的正交补W
也是 的不变子空间。
8.（10 分）证明：若 , 都是正定矩阵，则 的根都是正数。
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