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青岛大学青岛大学青岛大学青岛大学 2012012012013333 年硕士研究生入学考试试题年硕士研究生入学考试试题年硕士研究生入学考试试题年硕士研究生入学考试试题
科目代码：880 科目名称：数学基础综合 （共 2 页）
请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
1．（10 分）证明：limsin
n
n
→∞
不存在．
2．（10 分）求极限
2
2
( 1)
1
lim
n
n
k n k
+
→∞
=
∑ ．
3．（10 分）求
2
20
sin( )
lim
x
x
x
xt
dt
t
x→
∫
．
4．（10 分）设n 为自然数， ( )f x 在[0, ]n 上连续， (0) ( )f f n= ．
试证：存在 , 1 [0, ]nα α + ∈ ，使得 ( ) ( 1)f fα α= + ．
5．（10 分）证明： 3
( ) | |f x x= 在 0x = 处的三阶导数 (0)f ′′′ 不存在．
6．（10 分）设函数 ( )f x 在[0, ]π 上连续，且
0
( ) 0f x dx
π
=∫ ，
0
( )cos 0f x xdx
π
=∫ ．
证明：在(0, )π 内至少存在两个不同的点 1 2,ξ ξ ，使得 1 2( ) ( )f fξ ξ= ．
7．（10 分）函数 ( )f x 在[0,1] 上单调不增，证明：
对任何
1
0 0
(0,1), ( ) ( )f x dx f x dx
α
α α∈ ≥∫ ∫ ．
8．（10 分）求：
1
00 1
max ln | |
s
s t dt
≤ ≤
−∫ ．
9．（10 分）计算 n 阶行列式 Dn=
xcccc
bxccc
bbbxc
bbbbx
⋯
⋯
⋮⋮⋮⋮⋮
⋯
⋯
．
10．（10 分）设 nαα ⋯,1 是数域 F 上线性空间 V 中一线性无关的向量组，讨
论向量组
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