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青岛大学青岛大学青岛大学青岛大学 2013201320132013 年硕士研究生入学考试试题年硕士研究生入学考试试题年硕士研究生入学考试试题年硕士研究生入学考试试题
科目代码： 816 科目名称： 高等代数 （共 2 页）
请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
一、(15 分) 设 4 3 2 4 3 2
( ) 2 4 2, ( ) 2 2f x x x x x g x x x x x= + − − − = + − − − ，求 ( ), ( )u x v x
使 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( )).u x f x v x g x f x g x+ =
二、(15 分). 证明：方程组
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =⎧
⎪ + + + =⎪
⎨
⎪
⎪ + + + =⎩
⋯
⋯
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⋯
对任何 1 2, , , nb b b⋯ 都有解的充分必要条件是系数矩阵的行列式 0ija ≠ .
三、(20 分) ,a b 取什么值时，线性方程组
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
3 2 3
2 2 6 3
5 4 3 3
x x x x x
x x x x x a
x x x x
x x x x x b
+ + + + =⎧
⎪ + + + − =⎪
⎨
+ + + =⎪
⎪ + + + − =⎩
有解？在有解的情形，求一般解.
四、(20 分)设 ,A B 为n n× 矩阵，证明：如果 0AB = ，那么
( ) ( )rank A rank B n+ ≤ .
五、(20 分) 设 A是一个n 阶矩阵，证明：
1） A是反对称矩阵当且仅当对任一个n 维向量 X ，有 0=′AXX .
2）如果 A是对称矩阵，且对任一个n 维向量 X 有 0=′AXX ，那么 0=A .
六、(20 分) 设 nααα ,...,, 21 是 n 维线性空间 V 的一组基，A 是一个 n×s 矩阵，且
Ans ),...,,(),...,,( 2121 αααβββ =
证明： ),...,,( 21 sL βββ 的维数等于 A 的秩.
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