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南京航空航天大学
2012 年硕士研究生入学考试初试试题（ A 卷）
科目代码： 814 科目名称： 高等代数 满分： 150 分
注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或
草稿纸上均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！
一、(20 分)设 TTT
)1,1,0(,)0,0,3(,)2,2,1( 321 −=== ααα 在基 321 ,, βββ 下的坐标分
别是 312 ,, ααα （这里“T ”表示转置，以下各题相同）．
１．求向量 321 ,, βββ ；
２．在 3
R 中求一组标准正交基 321 ,, εεε ，使得从基 321 ,, εεε 到基 321 ,, ααα 的过渡矩
阵为上三角矩阵．
二、(15 分)设有两组向量
.
1
2
,
1
:)II(;1
1
,
5
3
2
,
3
2
1
:)I( 2
21321
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
c
b
c
b
a
ββααα
１．求参数a ，使得 321 ,, ααα 线性相关；
２．当 321 ,, ααα 线性相关时，求参数b 和c ，使得向量组（I）和（II）等价．
三、(25 分)设 3
R 的线性变换T 使得
.
1
1
1
1
1
1
,
0
1
1
1
1
0
,
1
1
0
0
1
1
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
aTaTT
１．求T 在基 TTT
)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1( 321 === εεε 下的矩阵 A ；
２．如果T 有三个线性无关的特征向量，求参数a 和可逆矩阵 P ，使得 APP 1−
是对角
矩阵；
３．如果 T
)1,1,1(−=α 是T 的一个特征向量，证明 A 不能与对角矩阵相似，并求 A 的
Jordan 标准形．
814 高等代数 第 1 页 共 2 页
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