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昆明理工大学 2010 年硕士研究生招生入学考试试题(A 卷)
考试科目代码：605 考试科目名称 ：数学分析
试题适用招生专业：070102 计算数学、070104 应用数学、071101 系统理论、071102
系统分析与集成
考生答题须知
1． 所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。
请考生务必在答题纸上写清题号。
2． 评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。
3． 答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。
4． 答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。
1、 证明 lim
x
f x A
的充分必要条件是：对任何数列 ,n n
x f x A .（14 分）
2、 设 f x 具有二阶连续导数，且 0 0f ，证明函数
, 0
0 , 0
f x
x
g x x
f x
可导且导函数
连续.（14 分）
3、 设 f x 在 ,a b 上可导， 0, 0, 0,f a f b f a f b
证明方程 0f x 在
,a b 内至少有两个不同的实根. （12 分）
4、 试证：当 1 0a b 时，函数
2
1
x ax b
f x
x
取得极值. （14 分）
5、 设 f x 连续，且
0
1 cos ,
x
tf x t dt x ，求
2
0
f x dx
.（14 分）
6、 证明：若数列 n
na 收敛，且级数 1
1
n n
n
n a a
收敛，则级数
1
n
n
a
也收敛. （10 分）
7、 将函数
1
arctan
1
x
f x
x
展成 x 的幂级数，并求
0 .
n
f （16 分）
8、 设 , , 0F x x y x y z ，其中 , ,F x y z 具有二阶连续偏导数，求
2
2
z
x
.（12 分）
9、证明：曲面 , 0F nx lz ny mz 在任意点处的切平面都平行于直线
1 2 3x y z
l m n
，
其中 F 具有连续的偏导数. （12 分）
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